6 · สองขอบ
ในเกมทายคนมีคำตอบอยู่สองแบบที่ไม่มีใครอยากได้ แบบแรกคือคำตอบที่ทุกหน้าตรงหมด ถามไปแล้วไม่มีหน้าไหนถูกพับเลย แบบที่สองคือคู่คำตอบที่พับทุกหน้าลงพร้อมกัน เช่นเมื่ออีกฝ่ายตอบว่าคนนั้นใส่แว่น แล้วอีกนาทีตอบว่าคนนั้นไม่ได้ใส่แว่น
ข้อความที่ไม่มีวันผิด กับข้อความที่ไม่มีวันถูก บอกคุณเรื่องโลกที่คุณอยู่ได้เท่ากันพอดี คือไม่ได้เลย
ขอบบน
ประโยคว่า พรุ่งนี้ฝนจะตก หรือไม่ก็ไม่ตก จริงในทุกโลกที่เป็นไปได้ มันเก็บโลกไว้ทุกใบ และพับไม่ได้แม้แต่ใบเดียว ตำราคณิตศาสตร์ระดับมัธยมของไทยเรียกประโยคแบบนี้ว่า สัจนิรันดร์ (tautology) คือประโยคที่จริงทุกกรณี
เล่มนี้เรียกที่อยู่ของมันว่าขอบบน หรือจริงสมบูรณ์ เพราะในความหมายของบทที่ 5 มันอยู่เหนือทุกประโยค ทุกประโยคนำไปสู่มันได้ กองของประโยคไหนก็อยู่ในกองที่มีทุกโลกอยู่แล้ว
ถ้าคุณเพิ่มสัจนิรันดร์เข้าไปในชุดข้อตั้ง ไม่มีอะไรเปลี่ยนเลยแม้แต่ข้อเดียว ของที่เคยพิสูจน์ได้ก็ยังพิสูจน์ได้ ของที่พิสูจน์ไม่ได้ก็ยังพิสูจน์ไม่ได้ เพราะมันไม่พับโลกใบไหนที่ชุดเดิมยังเก็บไว้
ขอบล่าง
ประโยคว่า พรุ่งนี้ฝนจะตก และพรุ่งนี้ฝนจะไม่ตก จริงในโลกไหนไม่ได้เลย มันพับโลกลงทุกใบ ตำราเรียกประโยคแบบนี้ว่าข้อขัดแย้งในตัว (contradiction) และเล่มนี้เรียกที่อยู่ของมันว่าขอบล่าง หรือเท็จสมบูรณ์
ตรงนี้คือส่วนที่ฟังแปลกที่สุดในเล่ม ขอบล่างนำไปสู่ทุกประโยค
เหตุผลอยู่ในนิยามของบทที่ 5 ประโยค ก นำไปสู่ ข เมื่อทุกโลกที่ ก เก็บไว้ ข เก็บไว้ด้วย ขอบล่างไม่ได้เก็บโลกไว้เลยสักใบ เงื่อนไขนี้จึงจริงเสมอ ไม่ว่า ข จะเป็นอะไร เพราะไม่มีโลกใบไหนเหลือให้ชี้ได้ว่า ใบนี้ไง ขอบล่างเก็บไว้ แต่ ข ไม่เก็บ
ความจริงแบบนี้เรียกว่าความจริงที่ว่างเปล่า (vacuous truth) และมันมีหน้าตาธรรมดากว่าที่คิด ทุกตัวในห้องนี้ที่เป็นมังกรใส่เสื้อสีแดง ในห้องที่ไม่มีมังกร ประโยคนี้ไม่เท็จ เพราะคุณหามังกรที่ไม่ได้ใส่เสื้อแดงมาชี้ไม่ได้ และด้วยเหตุผลเดียวกัน ทุกตัวในห้องนี้ที่เป็นมังกรใส่เสื้อสีเขียว ก็ไม่เท็จเช่นกัน
ขอบล่างคือกรณีสุดทางของเรื่องเดียวกัน ห้องที่ไม่มีมังกรยังเหลือโลกบางใบที่ประโยคเรื่องมังกรเท็จได้ ส่วนขอบล่างไม่เหลือโลกให้อะไรเท็จได้เลยสักใบ
ข้อพิสูจน์สี่บรรทัด
ตรรกะแบบฉบับพิสูจน์เรื่องเดียวกันนี้ได้โดยไม่ต้องพูดถึงโลกสักคำ ใช้แค่รูปทรงที่ไม่รั่วสองรูป สมมติว่าคุณยอมรับข้อขัดแย้งเข้ามาหนึ่งคู่ ฝนตก กับ ฝนไม่ตก แล้วดูว่ามันพาไปถึงประโยคว่าดวงจันทร์ทำจากขนมชั้นได้อย่างไร
บรรทัดที่หนึ่ง ฝนตก เป็นข้อตั้ง
บรรทัดที่สอง ฝนตก หรือดวงจันทร์ทำจากขนมชั้น ประโยคนี้จริง เพราะประโยคที่มีคำว่าหรือจริงทันทีที่ส่วนใดส่วนหนึ่งจริง และส่วนแรกจริงอยู่แล้วตั้งแต่บรรทัดที่หนึ่ง
บรรทัดที่สาม ฝนไม่ตก เป็นข้อตั้งอีกข้อ
บรรทัดที่สี่ ดวงจันทร์ทำจากขนมชั้น เพราะบรรทัดที่สองบอกว่าอย่างน้อยหนึ่งในสองส่วนจริง และบรรทัดที่สามตัดส่วนแรกทิ้งไปแล้ว
ไม่มีบรรทัดไหนรั่ว และดวงจันทร์ก็ยังไม่ได้ทำจากขนมชั้น ความผิดทั้งหมดอยู่ที่คู่ข้อตั้ง ข้อพิสูจน์แบบนี้มักถูกเรียกตามชื่อ C. I. Lewis ผู้ตีพิมพ์มันไว้ในปี 1932 แต่นักตรรกศาสตร์ยุคกลางรู้จักมันมาก่อนหลายร้อยปี
แทนประโยคเรื่องขนมชั้นด้วยประโยคอะไรก็ได้ ข้อพิสูจน์เดิมใช้ได้ทุกครั้ง ระบบใดที่ยอมรับข้อขัดแย้งเข้ามาเพียงคู่เดียว จะพิสูจน์ได้ทุกประโยค ตำราเรียกผลนี้ว่าหลักการระเบิด (principle of explosion)
หนึ่งกับศูนย์
สองขอบนี้มีหน้าตาที่เด็กประถมรู้จักดี
George Boole นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เขียนตรรกะเป็นพีชคณิตไว้ในหนังสือปี 1854 เขาใช้เลขหนึ่งแทนจักรวาลของทุกสิ่งที่กำลังพูดถึง ใช้ศูนย์แทนความว่างเปล่า และใช้การคูณแทนคำว่าและ ในภาษาของเขา กฎที่ว่าไม่มีอะไรเป็นและไม่เป็นพร้อมกันได้ เขียนว่า x คูณ หนึ่งลบ x เท่ากับศูนย์
ในภาษานั้น สองขอบกลายเป็นสองตัวเลข การเพิ่มสัจนิรันดร์เข้าไปในชุดข้อตั้ง คือการคูณด้วยหนึ่ง ได้ของเดิมทุกครั้ง การเพิ่มข้อขัดแย้งในตัว คือการคูณด้วยศูนย์ ไม่ว่าเดิมจะมีอะไรอยู่ ก็เหลือศูนย์ และจากกองที่ว่างเปล่า ทุกประโยคก็ตามมาได้
ฝาแฝดที่ไม่พูด
สองขอบนี้มีอย่างหนึ่งเหมือนกัน
Ludwig Wittgenstein เห็นสิ่งนี้ในหนังสือเล่มแรกของเขา Tractatus Logico-Philosophicus ที่พิมพ์เป็นภาษาอังกฤษในปี 1922 เขาเรียกสองขอบว่ากรณีสุดขั้วสองกรณี และเขียนว่าสัจนิรันดร์กับข้อขัดแย้งแสดงให้เห็นว่ามันไม่ได้พูดอะไรเลย สัจนิรันดร์เปิดพื้นที่ทั้งหมดของความเป็นไปได้ไว้ ให้โลกเป็นอย่างไรก็ได้ ข้อขัดแย้งปิดพื้นที่นั้นจนไม่เหลือที่ให้โลกยืนเลยสักจุด ทั้งสองจึงกำหนดอะไรเกี่ยวกับโลกไม่ได้
แต่เขาไม่ได้บอกว่ามันไร้สาระ มันเป็นส่วนหนึ่งของภาษาที่ใช้คิด เหมือนที่เลขศูนย์เป็นส่วนหนึ่งของสัญลักษณ์ในเลขคณิต ศูนย์ไม่ได้นับของสักชิ้น แต่ไม่มีใครเรียกมันว่าเลขไร้สาระ
สังเกตให้ดีว่าฝาแฝดคู่นี้เงียบด้วยเหตุผลตรงข้ามกัน ขอบบนเงียบเพราะมันไม่ยอมพับอะไรเลย ขอบล่างเงียบเพราะมันพับทุกอย่าง รวมทั้งโลกที่คุณยืนอยู่
ตรรกะอยู่ที่ขอบบน
Wittgenstein เขียนต่อในหนังสือเล่มเดียวกันว่า ประโยคของตรรกะเป็นสัจนิรันดร์ทั้งหมด และมันไม่ได้พูดอะไร
ข้อนี้ตรวจได้ด้วยเครื่องมือของบทที่ 5 การอ้างเหตุผลว่า ก ดังนั้น ข สมเหตุสมผล ก็ต่อเมื่อประโยคว่า ถ้า ก แล้ว ข จริงในทุกโลก คือเมื่อประโยคนั้นอยู่ที่ขอบบนพอดี ทุกการอ้างเหตุผลที่ไม่รั่วจึงเป็นสัจนิรันดร์ที่ปลอมตัวมา และนี่คือเหตุผลเดียวกับที่บทที่ 4 พบว่านิรนัยไม่เคยพาคุณไปที่ใหม่
ตรรกะทั้งวิชาอาศัยอยู่ที่ขอบบน มันจึงไม่เคยบอกคุณว่าโลกเป็นอย่างไร มันบอกแค่ว่า ถ้าโลกเป็นอย่างนี้ อะไรบ้างที่หนีไม่พ้น
จะพลิกคำตัดสินนี้ได้เมื่อ: คุณเลือกตรรกะที่ไม่ยอมรับหนึ่งในสองรูปทรงของข้อพิสูจน์สี่บรรทัด ตรรกะสาย paraconsistent ตัดรูปทรงในบรรทัดที่สี่ทิ้ง ข้อขัดแย้งในระบบเหล่านั้นจึงไม่พาไปถึงทุกอย่าง ถ้ายังใช้ตรรกะแบบฉบับ ผลของบทนี้พลิกด้วยหลักฐานใดๆ ไม่ได้ เพราะมันไม่ได้พูดถึงโลก ส่วนที่นับได้ของบทนี้ คุณตรวจเองได้ด้วยการไล่ทุกกรณีบนกระดาษ ด้วยโลกเพียงสี่ใบ
แหล่ง:
- Wittgenstein 1922, Tractatus Logico-Philosophicus ฉบับแปลของ C. K. Ogden ข้อ 4.46, 4.461, 4.4611 (ศูนย์ในเลขคณิต), 4.463, 6.1, 6.11 — https://en.wikisource.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicus/4 และ https://en.wikisource.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicus/6
- Boole 1854, An Investigation of the Laws of Thought หนึ่งแทนจักรวาล ศูนย์แทนความว่าง การคูณแทนคำว่าและ และกฎว่าด้วยข้อขัดแย้งในรูป x(1 - x) = 0 ตามที่สรุปใน Burris, "George Boole", Stanford Encyclopedia of Philosophy — https://plato.stanford.edu/entries/boole/
- Lewis & Langford 1932, Symbolic Logic ที่มาของชื่อข้อพิสูจน์ และรากในตรรกศาสตร์ยุคกลาง: ข้อโต้แย้งของ William of Soissons ศตวรรษที่ 12 ตามที่ John of Salisbury บันทึกไว้ (C. J. Martin 1986, "William's Machine", Journal of Philosophy 83) — https://iep.utm.edu/para-log/
- สสวท. คณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เรื่องตรรกศาสตร์เบื้องต้น: สัจนิรันดร์ — https://proj14.ipst.ac.th/m4-6-math-basic/m4-math-basic/
- Priest, Tanaka & Weber, "Paraconsistent Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy — https://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/