9 · ตาที่มองตัวเองไม่เห็น
ตาที่มองเห็นทุกอย่างในห้อง มองเห็นทุกอย่างยกเว้นตัวมันเอง ถ้าไม่มีกระจก ไม่มีใครเคยเห็นตาของตัวเองเลย
ในบรรดาระบบที่แข็งแรงพอจะทำเลขคณิตได้ ระบบที่พิสูจน์ได้ด้วยตัวเองว่าตัวเองไม่ขัดแย้ง มีอยู่แบบเดียว คือระบบที่ขัดแย้งไปแล้ว
บทที่ 8 แสดงว่าข้อขัดแย้งทำให้สองขอบชนกัน บทนี้ถามคำถามที่ตามมา ระบบหนึ่งจะรู้ได้อย่างไรว่าขอบของมันยังไม่ชนกัน คำตอบมาเป็นสามชั้น ถูกค้นพบในช่วงสี่สิบปี และทั้งสามชั้นบอกสิ่งเดียวกัน มันรู้เองจากข้างในไม่ได้
เต่ากับกฎที่ไม่ใช่ข้อตั้ง
เต่าตัวหนึ่งยอมรับทุกข้อตั้ง แต่ไม่ยอมรับข้อสรุป
Lewis Carroll ผู้เขียน Alice's Adventures in Wonderland ตีพิมพ์บทสนทนาสั้นๆ ในวารสารปรัชญา Mind เมื่อปี 1895 เต่ายอมรับว่า ก จริง ยอมรับว่า ข จริง และยอมรับว่าถ้า ก กับ ข จริง แล้ว ค จริง แต่ยังไม่ยอมรับ ค จนกว่ากฎข้อนั้นจะถูกเขียนลงไปเป็นข้อตั้งอีกข้อ พอเขียนลงไปแล้ว เต่าก็ขอข้อตั้งใหม่อีกข้อ ว่าถ้าข้อตั้งสามข้อนี้จริง แล้ว ค จริง และขอต่อไปอีกเรื่อยๆ ไม่มีวันจบ
บทเรียนของเต่าคือ กฎที่พาคุณจากข้อตั้งไปถึงข้อสรุปไม่ใช่ข้อตั้งข้อหนึ่ง จะเอามันใส่ลงไปในกรอบเป็นภาพอีกภาพไม่ได้ มันคือตัวกรอบเอง
ความจริงที่นิยามจากข้างในไม่ได้
ภาษาหนึ่งพูดถึงความจริงของประโยคของตัวเองได้แค่ไหน
Alfred Tarski เจ้าของประโยคเรื่องหิมะในบทที่ 2 พิสูจน์ในงานที่พิมพ์ครั้งแรกเป็นภาษาโปแลนด์ในปี 1933 ว่า สำหรับภาษาที่แข็งแรงพอ คำว่าจริงของภาษานั้นนิยามด้วยตัวภาษานั้นเองไม่ได้ ต้องใช้ภาษาอีกชั้นหนึ่งที่อยู่เหนือกว่ามาพูดถึงมัน ประโยคที่บอกว่าตัวเองเท็จ ที่บทที่ 5 พูดถึงไว้ท้ายบท คือเครื่องมือที่ทำให้ข้อพิสูจน์นี้ทำงาน
ระบบที่รับรองตัวเองไม่ได้
คำถามสุดท้ายหนักที่สุด ระบบหนึ่งพิสูจน์ได้หรือไม่ว่ามันจะไม่มีวันพิสูจน์ข้อขัดแย้ง
ในปี 1931 Kurt Gödel นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย ตอบว่าไม่ได้ สำหรับทุกระบบที่มีกฎชัดเจนพอให้เครื่องตรวจได้ และแข็งแรงพอจะทำเลขคณิตธรรมดา ถ้ามันไม่ขัดแย้ง มันจะพิสูจน์ความไม่ขัดแย้งของตัวเองไม่ได้ ผลนี้ถูกเรียกว่าทฤษฎีบทความไม่บริบูรณ์ข้อที่สอง (second incompleteness theorem)
แล้วระบบที่ขัดแย้งล่ะ บทที่ 6 ตอบไว้แล้ว มันพิสูจน์ได้ทุกประโยค รวมทั้งประโยคว่า ฉันไม่ขัดแย้ง
สังเกตให้ดีว่าผลนี้กลับสามัญสำนึกทั้งหมด ถ้าระบบที่แข็งแรงพอยื่นข้อพิสูจน์มาให้คุณว่ามันไม่ขัดแย้ง ข้อพิสูจน์นั้นไม่ใช่หลักฐานว่ามันปลอดภัย มันคืออาการของระบบที่พังไปแล้ว
ข้อยกเว้นที่รู้จักมีอยู่ คือระบบที่อ่อนเกินกว่าจะพิสูจน์ได้ด้วยซ้ำว่า การคูณเลขสองจำนวนให้คำตอบเสมอ Dan Willard สร้างระบบแบบนั้นไว้ในปี 2001 และมันรับรองความไม่ขัดแย้งของตัวเองได้ในความหมายหนึ่ง สิ่งที่มันจ่ายไปคือความแข็งแรงที่เลขคณิตธรรมดามี
กรอบซ้อนกรอบ
ทางออกมีอยู่ทางเดียว คือยืนนอกระบบแล้วมองเข้าไป
ในปี 1936 Gentzen ผู้วาดกระจกในบทที่ 7 พิสูจน์ว่าเลขคณิตมาตรฐาน (Peano Arithmetic) ไม่ขัดแย้ง ด้วยเครื่องมือที่แข็งแรงกว่าตัวเลขคณิตเอง เครื่องมือนั้นชื่อ transfinite induction ชื่อของมันมีคำว่าอุปนัย แต่มันเป็นนิรนัยที่ไม่รั่ว เหมือนข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหลาย มันไล่พิสูจน์ทีละขั้นขึ้นไปตามลำดับที่ยาวเกินจำนวนนับทั้งหมด จนถึงตำแหน่งที่เรียกว่า epsilon-nought ซึ่งเลขคณิตธรรมดาไล่ไปไม่ถึง และในปี 1943 เขาแสดงว่าเลขคณิตมาตรฐานพิสูจน์เครื่องมือชิ้นนั้นด้วยตัวเองไม่ได้
กรอบที่ใช้มองจึงต้องกว้างกว่าสิ่งที่ถูกมอง และกรอบนั้นเองก็หนีทฤษฎีบทของ Gödel ไม่พ้น ถ้ามันไม่ขัดแย้ง มันก็รับรองตัวเองไม่ได้ ต้องมีกรอบที่กว้างกว่าอีกชั้นมามองมัน ไม่มีกรอบสุดท้าย
ถ้ามีคนพูดว่า จริงสมบูรณ์กับเท็จสมบูรณ์มองจากข้างในแยกไม่ออก แต่มองจากกรอบจะเห็นว่าอยู่คนละที่ นี่คือรูปที่แม่นยำของประโยคนั้น ในระบบที่ยังดีอยู่ สองขอบยังแยกกันจริง แต่ระบบรับรองการแยกนั้นด้วยตัวเองไม่ได้ ต้องมีใครสักคนยืนอยู่ข้างนอก
คุณยืนยันจากข้างในไม่ได้ว่าสองขอบของคุณยังไม่ชนกัน สิ่งที่ทำได้คือหากรอบที่กว้างกว่ามามอง แล้วยอมรับว่ากรอบนั้นก็ต้องการกรอบของมันเช่นกัน
จะพลิกคำตัดสินนี้ได้เมื่อ: ทฤษฎีบทของ Gödel พลิกด้วยหลักฐานไม่ได้ เพราะมันถูกพิสูจน์และตรวจซ้ำมาเกือบร้อยปีแล้ว สิ่งที่เปลี่ยนผลได้คือการเลือกกรอบ ระบบที่อ่อนกว่าเลขคณิตธรรมดาอย่างของ Willard รับรองตัวเองได้ในความหมายหนึ่ง และ Solomon Feferman แสดงไว้ในปี 1960 ว่า ถ้าเขียนประโยคว่าไม่ขัดแย้งด้วยวิธีที่ต่างออกไป ผลก็เปลี่ยนได้ คำตัดสินของบทนี้จึงเป็นคำตัดสินของระบบที่แข็งแรงพอจะทำเลขคณิต และเขียนความไม่ขัดแย้งด้วยวิธีมาตรฐาน
แหล่ง:
- Carroll 1895, "What the Tortoise Said to Achilles", Mind 4(14): 278–280 — https://academic.oup.com/mind/article-abstract/IV/14/278/1046872
- Tarski 1933 ฉบับภาษาโปแลนด์ และ 1935, "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen", Studia Philosophica 1: 261–405 — https://philpapers.org/rec/MILOTY
- Gödel 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik und Physik 38 และคำอธิบายใน Raatikainen, "Gödel's Incompleteness Theorems", Stanford Encyclopedia of Philosophy — https://plato.stanford.edu/archives/win2015/entries/goedel-incompleteness/
- Feferman 1960, "Arithmetization of Metamathematics in a General Setting", Fundamenta Mathematicae 49 วิธีเขียนประโยคว่าไม่ขัดแย้งที่เปลี่ยนผลได้
- Willard 2001, Journal of Symbolic Logic 66(2): 536–596 ระบบที่รับรองตัวเองได้เพราะพิสูจน์ไม่ได้ว่าการคูณให้คำตอบเสมอ — https://philpapers.org/rec/WILSAS-2
- Gentzen 1936, "Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie", Mathematische Annalen 112: 493–565 — https://eudml.org/doc/159839 และ Gentzen 1943, Mathematische Annalen 119: 140–161